Formule du binôme
La formule de la somme pour le binôme est
Explication
Nous développons la formule du binôme (bi signifie les 2 lettres a et b)
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
Chaque terme peut être écrit sous la forme
coefficient × am bn
Le développement des coefficients va selon le triangle de Pascal.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Un nombre est la somme des nombres à gauche et à droite juste au-dessus. Dans les lignes les nombres ajoutent et ensuites descendent. Vous le voyez aussi dans les calculs des combinaisons. Il y a la formule
Le nombre supérieure n est la puissance du binôme, le nombre en bas k est le nombre actuel du terme dans le resultat. Nous pouvons donc écrire
Vous voyez facilement que
Vous pouvez également écrire comme
mais c'est une question de goût. Dans sa forme la plus simple le binôme est